সূত্র : কোন সামান্তরিকের একই বিন্দু হতে অঙ্কিত সন্নিহিত বাহু দুটি যদি কোন কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর রাশির মান ও দিক নির্দেশ করে, তা হলে ঐ বিন্দু হতে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণই এদের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে।

ব্যাখ্যা ঃ

 মনে করি O বিন্দুতে একটি কণার উপর  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> ও <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>  ই দুটি ভেক্টর রাশি একই সময়ে  $\alpha$ কোণে ক্রিয়া করছে [চিত্র ১.১৬। OA ও OC-কে সন্নিহিত বাহু ধরে OABC সামন্তরিকটি অংকন করি এবং OB যুক্ত করি। এই সূত্রানুসারে উভয় ভেক্টরের ক্রিয়াবিদু O থেকে অংকিত কৰ্ণ $\overrightarrow{OB}$-ই ভেক্টর P ও Q-এর লব্ধি R নির্দেশ করে।

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>

বা, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math>

লব্ধির মান নির্ণয় :

মনে করি লব্ধির মান R এবং $<AOC=\alpha$ কোণটি সূক্ষ্মকোণ। এখন B বিন্দু হতে OA-এর বর্ধিত অংশের উপর BN টানি যা বর্ধিত OA বাহুকে N বিন্দুতে ছেদ করল।

AB ও OC সমান্তরাল।

<AOC =<BAN = $\alpha$। আবার OBN ত্রিভুজের, <ONB = এক সমকোণ = 90°।

OB² = ON² + BN² = (OA + AN)² + BN² 

        = OA² + 20A.AN + AN² + BN²

আবার, BNA সমকোণী ত্রিভুজে, AB² = AN² + BN²

বা, OC² = AN² + BN² [ AB = OC ] 

এখন ত্রিকোণমিতির সাহায্যে আমরা পাই, cos <BAN = cos $\alpha$ $\frac{AN}{AB}$

AN = AB cos $\alpha$= OC cos $\alpha$

সুতরাং OB² = OA² + AB² + 20A.AB cos $\alpha$

 বা, OB² = OA² + OC² + 2OA. OC cos $\alpha$

বা, R² = P² + Q² + 2PQ cos $\alpha$

$R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ \cos \alpha }$   (4)

লব্ধির দিক নির্ণয় :

মনে করি P-এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে লব্ধি R ক্রিয়া করছে।

সমীকরণ (4) এবং সমীকরণ (5) হতে যথাক্রমে R এবং $\theta$  পাওয়া যায়।

সুতরাং, দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়াশীল হলে এদের লন্ধির মান হবে ভেক্টরদ্বয়ের যোগফল এবং দিক হবে ভেক্টরদ্বয় যেদিকে ক্রিয়া করে সেদিকে।

লব্ধির সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান 

(Maximum and minimum value of the resultant)

মনে করি দুটি ভেক্টর রাশি $\overrightarrow{P}$ এবং $\overrightarrow{Q}$ একই সময়ে কোন বিন্দুতে $\alpha$ কোণে ক্রিয়া করছে। ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রানুসারে এদের লব্ধির মান

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi><mo>=</mo><msqrt><mrow><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>Q</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>P</mi><mi>Q</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></msqrt></math>

(ক) উপরোক্ত সমীকরণ হতে বলা যায় লব্ধি <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math>-এর মান <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> এবং <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর মধ্যবর্তী কোণের উপর নির্ভর করে।

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর মান সর্বাধিক হবে যখন cos C-এর মান সর্বাধিক হবে অর্থাৎ cos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> = 1 = cos 0°

বা, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> = 0° হবে।    

লব্ধির সর্বোচ্চ মান

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi><mo>=</mo><msqrt><mrow><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>Q</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>P</mi><mi>Q</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></msqrt></math>

$=\sqrt{{(P+Q)}^2}=(P+Q)$

অতএব, দুটি ভেক্টর যখন একই সরলরেখা বরাবর পরস্পর একই দিকে ক্রিয়া করে তখন তাদের লব্ধির মান সর্বোচ্চ হবে এবং এই সর্বোচ্চ মান ভেক্টর রাশি দুটির যোগফলের সমান হবে।

 অন্যভাবে বলা যায়, দুটি ভেক্টর রাশির লন্ধির মান এদের যোগফল অপেক্ষা বড় হতে পারে না । 

(খ) লব্ধি R-এর সর্বনিম্ন মান হবে যখন cos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> -এর মান সর্বনিম্ন হবে অর্থাৎ cos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> =- 1 = cos 180°

বা, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> = 180° হবে।

লব্ধির সর্বনিম্ন মান,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi><mo>=</mo><msqrt><mrow><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>Q</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>P</mi><mi>Q</mi><mo> </mo></mrow></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mrow><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>−</mo><mi>Q</mi><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>−</mo><mi>Q</mi></math>

অতএব, দুটি ভেক্টর রাশি যখন একই সরলরেখা বরাবর পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে তখন তাদের লঙ্ঘির মান সর্বনিম্ন হবে এবং লক্ষির সর্বনিম্ন মান ভেক্টর রাশি দুটির বিয়োগফলের সমান হবে। সুতরাং বলা যায়, দুটি ভেক্টর রাশির সর্বনিম্ন মান এদের বিয়োগফল অপেক্ষা ছোট হতে পারে না। এখানে উল্লেখ্য যে (7) নং সমীকরণে ~ চিহ্নটি P এবং Q-এর মধ্যে বিয়োগফল নির্দেশ করে, তবে P এবং Q এদের মধ্যে যেটি বড় সেটি আগে লিখতে হবে অর্থাৎ Q যদি P অপেক্ষা বড় হয় তবে P Q =QP

১.৬ ভেক্টরের বিয়োগ

Subtraction of vectors

দুটি ভেক্টর রাশির বিয়োগ বলতে একটি ভেক্টরের সাথে অপরটির ঋণাত্মক ভেক্টরের যোগফল বুঝায়। ->

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>,  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>   হলো ভেক্টর দুটির বিয়োগফল  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">C</mi><mo>→</mo></mover></math> হলে দেখা যায়, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">C</mi><mo>→</mo></mover></math> =  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + (- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>) 

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র, সামান্তরিক সূত্র ও বহুভুজ সূত্র প্রভৃতি ভেক্টরের বিয়োগের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। 

(ক) ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে ভেক্টরের বিয়োগফল নির্ণয় :

ধরা যাক  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>  ও <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> ভেক্টর দুটির বিয়োগফল নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে ভেক্টর দুটিকে মান ও দিকে অপরিবর্তিত রেখে একই আদি বিন্দু হতে OA ও OB অঙ্কন করতে হয় [চিত্র ১:১৭]। এরপর <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর প্রান্ত বিন্দু B-এর সাথে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর প্রান্ত বিন্দু A যোগ করলে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">BA</mi><mo>→</mo></mover></math> -ই মানে ও দিকে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> ভেক্টরকে সূচিত করে।

অতএব, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">BA</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>

(খ) সামান্তরিকের সূত্রের সাহায্যে ভেক্টরের বিয়োগফল নির্ণয় ঃ

ধরা যাক <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> ও <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> দুটি ভেক্টর। <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> ও <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> ভেক্টর দুটিকে একই আদি বিন্দু হতে উপযুক্ত বাহু দ্বারা সূচিত করতে হয়[চিত্র ১:১৮]। এরপর <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর সমান অথচ বিপরীতমুখী বাহু দ্বারা - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> -কে নির্দেশ করা হয়। এখন OA ও OC-কে সন্নিহিত বাহু ধরে OADC সামান্তরিক অঙ্কন করলে কর্ণ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OD</mi><mo>→</mo></mover></math> উক্ত ভেক্টর দুটির বিয়োগফল নির্দেশ করে । 

অর্থাৎ, কর্ণ  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OD</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OA</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AD</mi><mo>→</mo></mover></math>

= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + (- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>। 

১.৭ ভেক্টর যোগের কয়েকটি সূত্র

Some laws of vector addition

(ক) বিনিময় সূত্র (Commutative law) : 

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>

প্রমাণ : মনে করি, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> ও <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> দুটি ভেক্টর রাশি এবং R রাশি দুটির লব্ধি [ চিত্র ১:১৯ ]।

ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে, OAB ত্রিভুজে

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math>  = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>

অর্থাৎ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OB</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OA</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AB</mi><mo>→</mo></mover></math>

এখন OABC সামান্তরিক অঙ্কন করি এবং OC ও CB-এ যথাক্রমে AB ও OA এর ন্যায় তীর চিহ্নিত করি। OCB ত্রিভুজে

      <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OB</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OC</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">CB</mi><mo>→</mo></mover></math>    (ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে),

'অর্থাৎ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>

এটিই হল বিনিময় সূত্র ।

তেমনি স্কেলার রাশিও বিনিময় সূত্র মেনে চলে।

(খ) সংযোজন সূত্র (Associative law) : (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> )+ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>+(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>+ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>)

মনে করি <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math> এবং <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math> তিনটি ভেক্টর রাশি [চিত্র ১:২০ ]। এদেরকে যথাক্রমে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AB</mi><mo>→</mo></mover></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">BC</mi><mo>→</mo></mover></math> এবং <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">CD</mi><mo>→</mo></mover></math> রেখা দ্বারা সূচিত করা হয়েছে। এখন AC, BD এবং AD যোগ করি। অতএব ত্রিভুজের সূত্র হতে পাই,

ABC ত্রিভুজে  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AC</mi><mo>→</mo></mover></math> =  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AB</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">BC</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>

ACD ত্রিভুজে, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AD</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AC</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">CD</mi><mo>→</mo></mover></math>

=( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>)  = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math>

আবার, BCD ত্রিভুজে, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">BD</mi><mo>→</mo></mover></math> =  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">BC</mi><mo>→</mo></mover></math>+ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">CD</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>+ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math>   (9)

এবং ABD ত্রিভুজে, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AD</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">AB</mi><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">BD</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + ( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>+ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math>)   (10)

সমীকরণ (9) এবং সমীকরণ (10) হতে পাই,

(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math>+<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>) + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>P</mi><mo>→</mo></mover></math> + (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>Q</mi><mo>→</mo></mover></math>+ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math>)